2013-2014长春十一中高二数学下期末试卷（含答案理科）
一、选择题 （每小题5分，共60分）
1.设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
4.设某大学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 （ ），用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 与 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心
C.若该大学某女生身高增加 ，则其体重约增加
D.若该大学某女生身高为 ，则可断定其体重为
5.设 的内角 所对边的长分别为 ，若 ， ，则角 （ ）
A. B. C. D.
6．设点 是线段 的中点，点 在直线 外， ， ，则 （ ）
A．8B．4 C．2D．1
7.下列命题中，真命题的个数有（ ）
① ； ② ；
③“ ”是“ ”的充要条件；④ 是奇函数.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8．若 ， R，且 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
在矩形 中， ，如果在该矩形内随机取一点 ，那么使得 与 的面积都不小于 的概率是（ ）
A. B. C. D.
数列 的首项为1，数列 为等比数列且 ，若 ，
则 （ ）
A. 20 B. 512 C. 1013 D. 1024
11．在椭圆 上有两个动点 . 为定点， ,则 的最小值为( )
A．6 B． C．9 D．
12. 已知函数 的两个极值点分别为 ，且 ，点 表示的平面区域为 ，若函数 的图像上存在区域 内的点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.对任意实数 ，有 ,
则 的值为 .
14. 直线 被曲线 所截得的弦长为______．
15.将 排成一排，要求在排列中，顺序为“ ”或“ ”（可以不相邻），这样的排法有 种．
定义在 上的函数 满足：①当 时， ；② .设关于 的函数 的零点从小到大依次为 .若 ，则 _______.
（用 表示）
三．解答题（本大题共70分，解答时要写出必要的文字说明推理过程和演算步骤）
17.（满分12分）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
18．（满分12分）如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，且 ， , ，点 分别为 、 、 的中点．
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值.
（满分12分）甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次任意抽取3道题，独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中的2题就停止答题，即闯关成功。已知6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是 ．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（Ⅱ）设甲答对题目的个数为 ，求 的分布列及数学期望．
20．（满分12分）设 分别是椭圆 的左，右焦点，
（Ⅰ）若 是椭圆在第一象限上一点，且 ,求 点坐标；
（Ⅱ）设过定点（0，2）的直线 与椭圆交于不同两点 ,且 为锐角（其中 为原点），求直线 的斜率 的取值范围.
21．（满分12分）设函数 ， ，其导函数为 ；
（Ⅰ）当 时，求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时， ，求证： .
（22题、23题、24题中任选一个作答）
22.(本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲
如图所示， 是⊙ 直径，弦 的延长线交于 ， 垂直于 的延长
线于 .
求证：(1) ；
（2） .
(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为 轴正半轴，直线 的参数
方程为 ，曲线 的极坐标方程为
（1）写出 的直角坐标方程，并说明 是什么曲线？
（2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 .
24.(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（1）解不等式 ；
（2）求函数 的最小值.
长春市十一高中2013-2014年高二下学期数学
期末考试（理）答案
选择题（每题5分，共60分）
题号123456789101112
答案CBDDACCDADAB
填空题（每题5分，共20分）
13、 14、 15、40种 16、
解答题
17（Ⅰ）由已知条件结合正弦定理有： ，从而：
，
（Ⅱ）由正弦定理得： ，
即：
18.（1）证明：连接 ， 是 的中点 ， 过点 ，
为 的中点， ，
又 面 ， 面 ， 平面 ；
（2）在直角 中， ， ， ，
棱柱 的侧棱与底面垂直，且 ，以点 为原点，以 所在的直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则
， ， ， ， ，
， ，
， ；
（3）依题意得 ， ， ， ， ， ， ，
设面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
同理可得面 的一个法向量为 ，
故二面角的平面角 的余弦值为 ，
19.解：（1）设甲、乙闯关成功分别为A、B。
则 , ．
所以，甲乙至少有1人闯关成功的概率为
（2）由题意，
,
12
的分布列为
20．解：（1） ；（2）
解：（1）当 时， ，
令 ，即： ，
解得： ，所以：函数 的单调增区间为
同理：单调减区间为
，所以：
，
下面证明 ，有 恒成立，
即证： 成立，
， 只需证明： 即可，
对此：设 ，
而
所以： .故命题得证.
22．（1） 圆 （2）
23、（1） （2）